LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN

PRIMER CASO

EL PRIMER CASO DE FACTORES SE DIVIDE EN DOS PARTES QUE SON: FACTOR COMÚN MONOMIO Y FACTOR COMÚN POLINOMIO

FACTOR COMÚN MONOMIO

Es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término si hubiera + ó – seria binomio, un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.

EJEMPLO 1:

5a2 - 15ab - 10 ac

El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto

 5a2 - 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c)

SEGUNDO CASO

FACTOR COMUN POR AGRUPACION

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.

Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas.

EJEMPLO1

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común:

                        (2ax - ay + 5a) + (2bx - by + 5b)

Saco el factor común de cada grupo:

                        a (2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

                        (2x -y +5)(a + b)

TERCER CASO

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Es igual al cuadrado de un binomio. Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

EJEMPLO  1 :

a2 +2ab + b2= (a+b)2

4x2 – 20xy + 25y2= (2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)2 R/.

16 + 40x2 + 25x4 = (4 + 5x2) (4 + 5x2) = (4 + 5x2)2

9b2 – 30a2b + 25a4 = (3b – 5a2) (3b – 5a2) = (3b – 5a2)2

400x10 + 40x5 + 1 = (20 x5 + 1) (20 x5 + 1) = (20 x5 + 1)2

CASO CUATRO

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. 

EJEMPLO  1:

1  9y2-4x2= (3y-2x) (3y+2x)   R//

CASO ESPECIAL

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrado en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas. 

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + b)2 es (a + b) La raíz cuadrada de c2 es  c  

Multiplica la suma de las raíces, (a + b + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del Sustraendo (a + b - c)

EJEMPLO  1:

1   4x2 - (x + y)2

4x2 - (x + y)2 = [2x + (x + y)] * [2x - (x + y)]

4x2 - (x + y)2 = [2x + x + y] * [2x - x - y]

4x2 - (x + y)2 = [3x + y] * [x - y] 

CASO 5

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

  EJEMPLOS 1

   4a4 + 8a2 b2 + 9b4

4a4 + 8a2 b2 + 9b4

      + 4a2 b2             - 4a2 b2

4a4 +12a2b2 + 9b4- 4a2b2 = (4a4 + 12a2 b2 + 9b4) - 4a2b2

 (4a4 + 12a2 b2 + 9b4) - 4a2 b2

 (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2

(2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [(2a2 + 3b2) + 2ab] * [(2a2 + 3b2) - 2ab]

(2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [2a2 + 3b2 + 2ab] * [2a2 + 3b2 - 2ab]

4a4 + 8a2 b2 + 9b4= [2a2 + 2ab + 3b2] * [2a2 – 2ab + 3b2]

CASO 6

TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como

x2 + 5x + 6

a2 – 2a – 15

m2 + 5m – 14

y2 – 8y + 15

Que cumplen las condiciones siguientes:

• El coeficiente del primer término es 1

• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

• El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

• El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa

EJEMPLO  1

x2 + 5x + 6 = (x + 2) * (x + 3) 

           CASO ESPECIAL DEL CASO 6

El procedimiento anterior es aplicable a la factorización de trinomio que siendo de la forma x2+bx+c difieren algo de los estudiados anteriormente.

Ejemplo:

X4-5x2-50 =

El primer término de cada factor binomio será la raíz cuadrada de X4 o sea X2

X4-5x2-50 = (X2 -  ) (X2 +  )

Buscamos dos números cuya diferencia (signos distintos en los binomios) sea 5 y cuyo producto sea 50. Esos números son 10 y 5 tendremos:

X4-5x2-50 = (X2 - 10) (X2 + 5)

EJEMPLOS 1

c2 + 5c – 24 =

c2 + 5c – 24 = (c + 8) * (c – 3)

  

CASO 7

TRINOMIO DE LA FORMA AX2+BX+C

Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax2+bx+c:

El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.

El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1 y 2 términos.

Ejemplo  1 :

6x2 -7x -3

1) Se multiplica el coeficiente del primer término” 6” por todo el trinomio, dejando el producto del 2  término indicado:

6(6x2 -7x +3) =36x2 -6(7x) -18

2) Se ordena tomando en cuenta que 36x2 = (6x)2 y 6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera: (6x) 2 -7(6x) -18

3) Luego se procede a factorar (6x) 2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. Con una variante que se explica en el Inciso 6°

4) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio: (6x-  )(6x+  )

5) Se buscan dos números cuya diferencia sea -7  y cuyo producto sea -18 esos números son -9 y +2  porque: -9 +2 = -7  y (-9) (2) = -18= (6x-9)(6x+2)

6) Aquí está la variante: Como al principio multiplicamos el trinomio por “6″, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre”6″

(6x-9)(6x+2) / 6; como ninguno de los binomios es divisible entre “6″ entonces descomponemos el “6″ en dos factores (3y2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así: (6x-9) / 3 y (6x+2) / 2, y estos cocientes quedarían así:(2x-3) (3x+1)

CASOS ESPECIALES

EJEMPLO    1 :

20x^2 +7x -6 = (4x+3) (5x-2)

3x² + 8x – 35 = (3x - 7) (x + 5)
8. 9a² + 9ab - 18b² = (a + 2b) (a - b)
9. 4x² +17x -15 = (4x - 3) (x + 5)
10. 15x² + x - 2 = (5x + 2) (3x - 1)

CASO 8

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Debemos tener en cuenta que los productos notables nos dicen que:

(a+b)3 = a2 +3a 2 b+3 a b 2 +b3 y (a-b)3 = a2-3a 2 b+3ab 2 - b3

La fórmula de arriba nos dice que para una expresión algebraica ordenada con respecto a una parte literal sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir lo siguiente:

1. Tener cuatro términos.

2. Que el primer término y el último sean cubos perfectos.

3. Que el segundo término sea más o menos el triplo de la primera raíz cúbica elevada al cuadrado que multiplica la raíz cúbica del último término.

4. Que el tercer término sea el triplo de la primera raíz cúbica por la raíz cubica del último término elevada al cuadrado

Si todos los términos de la expresión algebraica son positivos, la respuesta de la expresión dada será la suma de sus raíces cúbicas de su primer y último término, y si los términos son positivos y negativos la expresión será la diferencia de dichas raíces.

EJEMPLO   1 

1) 8a3 -36a2b+54ab2-27b3

La raíz cúbica de 8a3 es 2a

La raíz cúbica de 27b3es 3b

3(2 a)2(3b) = 36a2 b, segundo término

3(2 a) (3b)2 = 54ab2, tercer término

Y como los términos son alternativamente positivos y negativo, la expresión dada es el cubo de:

R. (2a -3b)3

  

CASO 9

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Pasos para resolver el ejercicio:

1. Descomponemos en dos factores.

2. En el primer factor se escribe la suma o la diferencia según sea el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos.

3. En el segundo factor se escribe la raíz del primer termino elevada al cuadrado, empezando con el signo menos y de ahí en adelante sus signos alternados (si es una suma de cubos) o con signo más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado de la segunda raíz.

La fórmula (1) nos dice:

REGLA 1 la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. La suma de sus raíces cúbicas

2. El cuadrado de la primera raíz, menos la multiplicación de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. a3 +b3 =(a+b) (a2-ab+b2)

La fórmula (2) nos dice:

REGLA 2

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. La diferencia de sus raíces cúbicas

2. El cuadrado de la primera raíz, más el cuadrado de la segunda raíz.

a3 - b3 =(a-b) (a2+ab+b2)

EJEMPLO 1

27x3 + 125 y9 = (3x+5y3) (9x2-15x y3+25y6)

1 – a3 = (1-a) (1+a+ a2)

1 + a3 = (1+a) (1-a+ a2)

a3 + 27 = (a+3) (a2- 3a+ 9)

x3 – 27 = (x -3) (x2- 3x+ 9)

CASO 10

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Procedimiento:

Se aplican los siguientes criterios:

Criterios de divisibilidad de expresiones de la forma an + - bn

Criterio 1: an – bn  es divisible por a - b siendo n par o impar

Criterio 2: an – bn  es divisible por a + b siendo n impar

Criterio 3: an – bn  es divisible por a + b siendo n es par

Criterio 4: an + bn  nunca es divisible por a - b

Pasos para resolver la suma de dos potencias iguales

Factorar x5 +32

1.- Encontramos la raíz quinta de los términos:

Raíz quinta de x5 = x; raíz quinta de 32 = 2

2.- Formamos el primer factor con las raíces: (x +2)

3.- Formamos el segundo factor:

(x4 – x3(2) +x2(2)2 – x (2)3 + (2)4) = (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)

 x5 +32 = (x +2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)

EJEMPLO   1 :

1.) x7+128

1.- Encontramos la raíz séptima de los términos:

Raíz séptima de x7 = x; raíz séptima de 128 = 2